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Lumaca di E. Pascal

La concoide di Nicomede è solo una particolare curva di una più ampia famiglia di curve piane chiamate concoidi, ottenute fissando un punto O detto polo, una curva detta base, un segmento lungo l detto intervallo e una retta r passante per il polo e secante la curva in un punto A. I due punti P e P' presi sulla retta r distanti l da A al variare dell'inclinazione della retta r rispetto al punto O descrivano una curva detta concoide. Nella concoide di Nicomede la curva base è una retta ad una distanza d dal polo. Se la curva base è una circonferenza si ottiene la concoide in figura:

che è nota con il nome di Lumaca di E. Pascal in onore del padre del matematico Blaise Pascal che ne definì le proprietà. Questa curva è stata chiamata lumaca perchè ricorda la tipica forma del guscio di una lumaca.

La lumaca di Pascal può essere considerata anche una particolare epitrocoide, ad esempio in figura è ottenuta l'epitrocoide ponendo R=r=1 e d=2 nell'equazione parametriche di questa famiglia di curve.

Anche la lumaca di Pascal può avere tre aspetti diversi che dipendono dal diametro della circonferenza e dalla lunghezza l dell'intervallo.

• Se 2⋅r > l la curva presenta un cappio e il polo è un nodo:

  

• Se 2⋅r = l la curva presenta una cuspide nel polo nota anche con il nome cardioide:

  

• Se 2⋅r < l la curva non passa per il polo e quest'ultimo rappresenta un punto isolato della curva:

  

Con il software GeoGebra possiamo simulare il luogo geometrico dei punti P e P' con le seguenti istruzioni:

• Si definisce la circonferenza di centro nell'origine degli assi e raggio 1.

• Si definisce lo slider α valore minimo 0°, valore massimo 360°, incremento 1° e lo slider l valore minimo 1, valore massimo 4, incremento 1.

• Si definisce il punto O(-1, 0) e un punto B sulla circonferenza.

• Sia A il punto ottenuto dalla rotazione di B intorno all'origine con angolo α.

• Si definisce la rette passante per i punti O e A.

• Si definisce la circonferenza di centro A e raggio l e siano P e P' i punti di intersezione tra questa circonferenza e la retta OA .

• Si utilizzi lo strumento luogo indicando come primo punto P e come secondo punto lo slider α.

• Si utilizzi lo strumento luogo indicando come primo punto P' e come secondo punto lo slider α.

• Si utilizzi mostra traccia dei punti P ed P' e animazione attiva dello slider.
  

  

Cambiando il valore dello slider l si ottengono le tre forme della lumaca di Pascal.

L'equazione cartesiana della lumaca di Pascal è:

(x² + y² - 2rx)² - l²(x² + y²) = 0

mentre le equazioni parametriche sono:



La lumaca di Pascal si può ottenere in vari modi:

• Come podaria di una circonferenza.

  
  
  

• Come l'inviluppo di tutte le circonferenze aventi centro su una circonferenza c e passanti per un punto P non coincidente con il centro della circonferenza c.