Lumaca di E. Pascal

La concoide di Nicomede è solo una particolare curva di una più ampia famiglia di curve piane chiamate concoidi, ottenute fissando un punto O detto polo, una curva detta base, un segmento lungo l detto intervallo e una retta r passante per il polo e secante la curva in un punto A. I due punti P e P' presi sulla retta r distanti l da A al variare dell'inclinazione della retta r rispetto al punto O descrivano una curva detta concoide. Nella concoide di Nicomede la curva base è una retta ad una distanza d dal polo. Se la curva base è una circonferenza si ottiene la concoide del cerchio in figura:

Questa curva è nota con il nome di Lumaca di E. Pascal in onore del padre del matematico Blaise Pascal che ne definí le proprietà. E' stata chiamata lumaca perchè ricorda la tipica forma del guscio di una lumaca.

La lumaca di Pascal può essere considerata anche una particolare epitrocoide, ad esempio in figura è ottenuta l'epitrocoide ponendo R=r=1 e d=2 nell'equazione parametriche di questa famiglia di curve.

Anche la lumaca di Pascal può avere tre aspetti diversi che dipendono dal diametro della circonferenza e dalla lunghezza l dell'intervallo.

• Se 2⋅r > l la curva presenta un cappio e il polo è un nodo:
• Se 2⋅r = l la curva presenta una cuspide nel polo nota anche con il nome cardioide:

• Se 2⋅r < l la curva non passa per il polo e quest'ultimo rappresenta un punto isolato della curva:

  

Con il software GeoGebra possiamo simulare il luogo geometrico dei punti P e P' con le seguenti istruzioni:

1. Si definisce la circonferenza di centro nell'origine degli assi e raggio 1.

2. Si definisce lo slider α valore minimo 0°, valore massimo 360°, incremento 1° e lo slider l valore minimo 1, valore massimo 4, incremento 1.

3. Si definisce il punto O(-1, 0) e un punto B sulla circonferenza.
4. Sia A il punto ottenuto dalla rotazione di B intorno all'origine con angolo α.
5. Si definisce la rette passante per i punti O e A.

6. Si definisce la circonferenza di centro A e raggio l e siano P e P' i punti di intersezione tra questa circonferenza e la retta OA.

7. Si utilizzi lo strumento luogo indicando come primo punto P e come secondo punto lo slider α.

8. Si utilizzi lo strumento luogo indicando come primo punto P' e come secondo punto lo slider α.

9. Si utilizzi mostra traccia dei punti P ed P' e animazione attiva dello slider.

Cambiando il valore dello slider l si ottengono le tre forme della lumaca di Pascal.

L'equazione cartesiana della lumaca di Pascal è:

(x² + y² - 2rx)² - l²(x² + y²) = 0

Invece, le equazioni parametriche sono:



La lumaca di Pascal si può ottenere in vari modi:

• Come podaria di una circonferenza.

• Come l'inviluppo di tutte le circonferenze aventi centro su una circonferenza c e passanti per un punto P non coincidente con il centro della circonferenza c.